こちらの続き。
二元配置のANOVAを行うには、回帰モデルの式に＋印で追加の独立変数を入れるだけであるこれだけです。すべてのステップは同じだ。。クリーナーとタイプの両方を独立変数とした二元配置のANOVAを行ってみよう。これを行うために、 formula = time ~ cleaner + type とする。
library(yarrr) head(poopdeck)
データはこちら
day cleaner type time 1 1 a parrot 47 2 1 b parrot 55 3 1 c parrot 64 4 1 a shark 101 5 1 b shark 76 6 1 c shark 63
One-way ANOVA
cleaner.aov <- aov(formula = time ~ cleaner,
data = poopdeck)
Two-way ANOVA
cleaner.type.aov <- aov(formula = time ~ cleaner + type,
data = poopdeck)
summary(cleaner.type.aov)
結果。
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) cleaner 2 6057 3028 6.945 0.00104 ** type 1 81620 81620 187.177 < 2e-16 *** Residuals 596 259891 436 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
両方の独立変数が有意であることがわかった。
事後検定
TukeyHSD(cleaner.type.aov)
Tukey multiple comparisons of means
95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = time ~ cleaner + type, data = poopdeck)
$cleaner
diff lwr upr p adj
b-a -0.42 -5.326395 4.486395 0.9779465
c-a -6.94 -11.846395 -2.033605 0.0027112
c-b -6.52 -11.426395 -1.613605 0.0053376
$type
diff lwr upr p adj
shark-parrot 23.32667 19.97811 26.67522 0
クリーナーbとクリーナーaの間は有意ではなかった。その他の比較はすべて有意だった。
回帰分析
cleaner.type.lm <- lm(formula = time ~ cleaner + type,
data = poopdeck)
summary(cleaner.type.lm)
Call:
lm(formula = time ~ cleaner + type, data = poopdeck)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-59.743 -13.792 -0.683 13.583 83.583
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 54.357 1.705 31.881 < 2e-16 ***
cleanerb -0.420 2.088 -0.201 0.840665
cleanerc -6.940 2.088 -3.323 0.000944 ***
typeshark 23.327 1.705 13.681 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 20.88 on 596 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.2523, Adjusted R-squared: 0.2485
F-statistic: 67.02 on 3 and 596 DF, p-value: < 2.2e-16
ここで、2つのデフォルト値（ここでは、cleaner = a and type = parrot）に関して、結果を解釈する必要がある。 切片は、オウムのウンチを掃除するクリーナーaの平均時間が54.36分だったことを意味している。さらに、サメのウンチを掃除するときの平均時間は、オウムのウンチを掃除するときよりも23.33分遅くなった。
交互作用を考慮したANOVA
変数間の交互作用は，ある変数の効果が他の変数に依存するかどうかを検証するものである。例えば、相互作用を使って次の質問に答えることができる。クリーナーの効果は、洗浄に使われるウンチの種類に依存するか？ ANOVAに交互作用項を含めるには、式の中で項の間にプラス（+）を入れる代わりにアスタリスク（*）を使うだけである。回帰オブジェクトに交互作用項を含めると、Rは自動的に主効果も含めることに注意。
2つの独立変数を持つ前のANOVAを繰り返すが、今度はクリーナーとタイプの間の交互作用を含める。これを行うために、式をtime ~ cleaner * typeに設定する。
cleaner.type.int.aov <- aov(formula = time ~ cleaner * type,
data = poopdeck)
summary(cleaner.type.int.aov)
結果。
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) cleaner 2 6057 3028 7.824 0.000443 *** type 1 81620 81620 210.863 < 2e-16 *** cleaner:type 2 29968 14984 38.710 < 2e-16 *** Residuals 594 229923 387 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
クリーナーとタイプの間には、確かに有意な相互作用があることがわかった。つまり、クリーナーの効果は、適用されるウンチの種類によって異なるということです。これは、章の最初に行ったデータのプロットからも納得できる。
この違いの本質を理解するために、回帰オブジェクトから回帰係数を見てみよう。
cleaner.type.int.lm <- lm(formula = time ~ cleaner * type,
data = poopdeck)
summary(cleaner.type.int.lm)
結果。
Call:
lm(formula = time ~ cleaner * type, data = poopdeck)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-54.28 -12.83 -0.08 12.29 74.87
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 45.760 1.967 23.259 < 2e-16 ***
cleanerb 8.060 2.782 2.897 0.003908 **
cleanerc 10.370 2.782 3.727 0.000212 ***
typeshark 40.520 2.782 14.563 < 2e-16 ***
cleanerb:typeshark -16.960 3.935 -4.310 1.91e-05 ***
cleanerc:typeshark -34.620 3.935 -8.798 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 19.67 on 594 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.3385, Adjusted R-squared: 0.3329
F-statistic: 60.79 on 5 and 594 DF, p-value: < 2.2e-16
繰り返しになるが、この表を解釈するには、まずデフォルト値が何であるかを知る必要がある。これは、表に「欠けている」係数からわかります。cleaneraやtypeparrotの項が見当たらないので、cleaner = "a "とtype = "parrot "がデフォルトであることを意味している。ここでも、係数をレベルとデフォルトとの差として解釈することができます。オウムのウンチの場合、クリーナーbとcの両方が、クリーナーa（デフォルト）よりも時間がかかるようだ。さらに、サメのウンチはオウムのウンチよりも掃除に時間がかかる傾向がある（typesharkの推定値は正）。
交互作用項は、サメのウンチを掃除しているときに、掃除の効果がどのように変化するかを示しています。cleanerb:typesharkの負の推定値(-16.96)は、オウムのウンチと比較して、サメのウンチを掃除する場合、平均して16.96分、清掃員bの方が速いことを意味している。クリーナーbの前回の推定値（オウムのウンチ）は8.06だったので、クリーナーbはオウムのウンチではクリーナーaよりも遅いが、サメのウンチではクリーナーaよりも速いことを示唆している。同じことがクリーナーcにも当てはまり、どちらの方向にも強い効果があることがわかる。
