Skogによるリーダーマン(S. Ledermann)の単一分布理論に関しての評論。最初の1/3の抄訳。今回はLedermannの基本的な仮説の説明。
Ledermannの著作は下記のものである。
- Ledermann, S. (1946) La mortalite des adultes en France. Population. I: 662-82.
- Ledermann, S. (1948) La surmortalite des hommes en France. Cahiers Francais d'lnformation. no. 118. 18-23.
- Ledermann, S. (1952a) Influence de Ia consommation de vins et d'alcools sur les cancers, Ia tuberculose pulmonaire et sur d'autres maladies. Semaine Medicate, 28:221-35.
- Ledermann, S. (1952b) Une evaluation du nombre des alcooliques en France depuis 1954. Population, 7:227-36.
- Ledermann, S. (1952c) Une mortalite d'origine economique en France: La mortalite d'oigine ou d'appoint alcoolique. Semaine Medicate, 28:417-21.
- Ledermann, S. (1953) L'alcoolisation excessive et Ia mortalite des fran'tais. Concours Medicate, 1485-96, 1983-98, 1675-76, 1767-74,.
- Ledermann, S. (1956) Alcool, Alcoolisme, Alcoolisation, Vol. I. Paris: Presses Universitaires de France.
Ledermannの単一分布理論には2つの主たる仮説がある。第一に、Ledermannは、アルコール消費は対数正規分布に従わなければならないと提案した。第二に、Ledermannは対数正規分布関数の2つのパラメータ（平均と標準偏差）があるパターンに従って共変動し、そのうちの1つのパラメータだけが自由に変動すると考えていた。しかし、後者の仮説に対するLedermannの主張の根拠は弱い。
Ledermannは強い規則性が存在するはずだと考えるようになったのだろうか。例えば、この理論では、社会における平均的な消費レベルと大酒飲みの有病率との間に凸の関係（上向きにカーブしている）があると予測しているが、これは当時、少なくともアングロサクソン人の視点から見ると、直感的ではない予測であった。しかし、Ledermannの著作全体を見ると、彼がどのようにして彼の仮説に到達したのかを理解しやすくなる。これから見るように、後者の仮説は、Ledermann (1946, 1948, 1952a,b,c, 1953) が初期の疫学研究で得たある種の結果を裏付けるために作られたものである可能性が高い。対数正規仮説も、ある程度はこれらの研究に触発されたものである。
リーダーマンの基本的な仮説
Ledermanは、アルコール消費は、均質な集団内で対数正規分布関数（1956, p.125）に従わなければならないことを示唆している。この仮説のかなり曖昧である。Ledermannは、個人の消費は社会的な力によって大きく決定されるということを出発点とし、消費の習慣は大部分が伝染または雪だるま式に発達するということを主張しました。これらの条件の下では、Ledermannによれば、消費変数自体よりも消費変数の対数が正規分布に従うことを期待する理由がある。対数正規分布の形状は、分散パラメータ、すなわち対数変換された消費の標準偏差に強く依存している。これは図1に示されているように、同じアルコールの総量が同じである場合の異なる対数正規分布を示しています。
図1から推測できるように、消費量の多い人の数は分散パラメータによって大きく変化する。飲酒者一人当たりの平均消費量が年間15Lの純アルコールとすると、1日の純アルコール消費量が15cLを超える人（つまり年間54.75L）の割合は、a=0.5のとき0.2%となる。a=1.0の場合は3.7%、a=3.0の場合は2.7%となる。そのような消費者の最も高い数は、1日15cL以上の割合が5.4%になるときに、a = 1.6のときに達するだろう。
年間150l以上の消費量を持つ人口の実際の割合が無視できないほど小さいことは完全に明らかである。このことは，消費の事実分布が十分な精度で対数正規分布で近似されるならば，この関数の分散パラメータはかなり小さいか、かなり大きくなければならないことを意味している。中間の値では、非現実的に大酒飲みの割合が大きくなります。例えば「平均m=15L」の集団では、対数正規分布の近似が全く合理的になるためには、aは2.15よりも有意に大きいか、または有意に小さくなければならない。
おそらく、Ledermannの第二の仮説は、この種の議論に基づいている。彼の仮説の出発点は、分散パラメータが年間365lL以上（つまり1日100cL以上）の理論的割合が非常に小さいようなものであるということだった。Ledermann は分散パラメータが、この割合がすべての集団において一定であり、同一であると考えられるようなものであると仮定している。
我々が見てきたように、値が非常に小さくても，非常に大きくても，上記のレベル以上の割合は小さくなるだろう。言い換えれば、Ledermannの条件を満たすaの値の2つの集合が存在し、Ledermann は、値が最も低い集合を選んだ(1956, p.263)。Ledermann は、なぜこのような選択をしたのかについては説明しておらず、また、なぜ年間365L以上の理論的な割合が一定でなければならないのかについても説明していない。
異なる母集団の累積度数分布を対数確率図(すなわち、対数横座標とガウス縦座標を持つダイアグラム)で表すと、Ledermannの2つの仮説に従って直線が得られます。直線はすべて1つの固定点を通り、分布が対数正規であるため直線となり、固定点はLedermannの2番目の仮説に従います。図2は、年間5、10、15、20、25、30リットルの純アルコールを平均的に摂取している集団の累積度数分布を示している。
図からわかるように、比較的消費量の多い人（以下、重消費者と呼ぶ）の数は、人口の平均消費量が多いほど増加します。純アルコールの平均消費量が5Lの母集団では、1日の平均消費量が10cLの人の有病率は1.5%であるのに対し、平均消費量が10L、20Lの母集団では、それぞれ4%、12%となる。
この関係は、図3で、1日の純アルコール摂取量が10cL、20cLを超える人の有病率が、Ledermannの式に従って、人口の平均消費量とどのように変動するかを示していて、より直接的に示されている。見られるように、Ledermannの理論は、重消費者の有病率が平均の凸関数になると予測している。これは、ある人口の平均消費量が増加した場合、重消費者の有病率の増加率は平均の増加率よりも大きくなることを意味する。平均を2倍にすることは、重消費者の数を2倍以上にすることになる。
Ledermannは、均質な集団について対数正規性の仮説を立てた。しかし、彼は「均質な母集団」という概念の定義を与えていない。平均消費量が変化する2つ以上の下位集団からなる集団として理解されるべきであろう異種集団について、彼は、Y= 1 n(X + a)の変換（ここでaは新しいパラメータ）が近似的なガウス正規分布を与えると仮定していました。Ledermannは、パラメータaの解釈を与えず、その変動範囲についての仮説も提示しなかった。原理的には，この理論は，不均質集団の分布が2つの自由パラメータを持つことを暗示しています．その結果、総消費量と重消費者の割合との間の密接な関係が希薄化することになる。しかし、Ledermannはパラメータaをあまり重視していなかったようで、後の論文（1964a,b）では、この修正については全く触れていない。
総消費量の変化がどのように起こるのか、また、そのような変化が大消費者の有病率にどのような結果をもたらすのかについてのLedermannモデルの予測は、1950年代半ば、特にアングロサクソン世界における支配的な見方とは明らかに矛盾している。多くの人は、アルコール消費量の増加は、まず第一に中等度消費者の消費量増加の結果であると理解しており、健康リスクを伴うほど消費量が多い人が大幅に増加したと考える理由はないと考えていたのである。この後者の仮説は、アルコール乱用の「宿命」にある人は、他の人口の消費レベルとはほぼ無関係に大消費者になるという考え方に基づいているように思われる。このように、人口は「アルコール依存症」と「普通の」消費者という、比較的明確に分離された2つの消費者グループで構成されているという仮説であった。この考え方は、総消費量の増加は重度消費者の数のわずかな増加を伴うだけであり、その場合の平均消費量と有病率の関係は、図4に示されているように、凹型であるべきであるという結果をもたらします。
Ledermannの急進的な理論の基礎となったものは何だったのだろうか。Ledermannは何をもって、アルコールの消費はほぼ対数正規分布であるべきだと考えたのだろうか。同じ平均消費量を持つ集団も同じ分散を持つべきだと信じたのはなぜだろうか？ そして最後に、分散パラメータの変化が非常に小さく、重度消費者の有病率が人口平均の凹関数ではなく凸関数になると信じたのは何だったのか？ 分布理論が紹介されている1956年の彼の著書には、これらの疑問に対する答えはない。しかし、それ以前の10年間のLedermannの著作を読むと、少なくとも理論の背景については多少理解できる。そこで、以下では、Ledermannの単一分布理論をそれ以前の著作に照らして解釈してみることにする。
