階層因子分析（hierarchical factor analysis）について松田淑美・狩野裕「高次因子分析モデルと階層因子分析モデルについて」から説明を引用しよう。
http://www.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/~kano/research/meeting/20050827_BSJ33/matsudaABS.pdf
階層因子分析モデルは，全ての観測変数を説明する一般因子（general factor）と，一部の観測変数を説明するグループ因子（group factor）からなる．このモデルには，いくつかの「層 （layer）」があり，各層において，観測変数は，ひとつの因子に負荷する．層の順番は，各層に含まれる因子の数によって決まり，因子数の最も多い層が第1 層となる．図 2のモデルでは，F1 ∼ F4 が第 1 層，F5 ∼ F6 が第2層，Gが第3層となる．また，F1 ∼ F6がグループ因子，G が一般因子である．これらの因子は全て，互いに直交している．
特に，2 層のモデル（ひとつの一般因子といくつかのグループ因子からなるモデル）は双因子モデル（bi–factor model）とも言う（図 3）．
データ
lavaanパッケージに同梱されているHolzingerSwineford1939を使用する。
ドキュメントには次のようにデータの説明が書かれてある。
古典的なHolzinger and Swineford (1939)のデータセットは、2つの異なる学校（PasteurとGrant-White）の7年生と8年生の子供たちの精神能力テストのスコアで構成されている。オリジナルのデータセット（MBESSパッケージで利用可能）には、26のテストのスコアがある。しかし、9つの変数を持つより小さなサブセットが、文献ではより広く使われている（たとえば、Joreskogの1969年の論文では、Grant-Whiteの学校からの145人の被験者のみを使用している）。
- x1 Visual perception
- x2 Cubes
- x3 Lozenges
- x4 Paragraph comprehension
- x5 Sentence completion
- x6 Word meaning
- x7 Speeded addition
- x8 Speeded counting of dots
- x9 Speeded discrimination straight and curved capitals
因子
| visual | textual | speed |
|---|---|---|
| Visual perception | Paragraph comprehension | Speeded addition |
| Cubes | Sentence completion | Speeded counting of dots |
| Lozenges | Word meaning | Speeded discrimination straight and curved capitals |
モデル
すべての観測変数に共通して影響を与える構成概念として「知能(intelligence)」を想定する。 この一般因子とグループ因子との聞の相関は，あらかじめ0に固定する。
library(lavaan)
HS1.model <- 'visual =~ x1 + x2 + x3
textual =~ x4 + x5 + x6
speed =~ x7 + x8 + x9
intelligence =~ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9
intelligence ~~ 0*visual + 0*textual + 0*speed'
実行
HS1.fit <- sem(HS2.model, data = HolzingerSwineford1939, std.lv=T) summary(HS1.fit, standardized=TRUE)
分散
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
.x1 0.395 0.214 1.848 0.065 0.395 0.290
.x2 1.155 0.116 9.944 0.000 1.155 0.836
.x3 -0.079 1.656 -0.048 0.962 -0.079 -0.062
.x4 0.386 0.048 8.122 0.000 0.386 0.286
.x5 0.383 0.061 6.233 0.000 0.383 0.230
.x6 0.371 0.042 8.732 0.000 0.371 0.310
.x7 0.654 0.099 6.604 0.000 0.654 0.552
.x8 0.453 0.085 5.318 0.000 0.453 0.444
.x9 0.578 0.062 9.337 0.000 0.578 0.569
x3の分散がマイナスになっている。これは不適解であるため、x3にも制約を課す必要がある。
モデルの改善
library(lavaan)
HS2.model <- 'visual =~ x1 + x2 + x3
textual =~ x4 + x5 + x6
speed =~ x7 + x8 + x9
intelligence =~ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9
intelligence ~~ 0*visual + 0*textual + 0*speed
x3 ~~ a*x3; a>0'
実行
HS2.fit <- sem(HS2.model, data = HolzingerSwineford1939, std.lv=T) summary(HS2.fit, standardized=TRUE)
結果。
Estimator ML
Optimization method NLMINB
Number of free parameters 30
Number of inequality constraints 1
Number of observations 301
Model Test User Model:
Test statistic 26.016
Degrees of freedom 15
P-value (Chi-square) 0.038
Parameter Estimates:
Standard errors Standard
Information Expected
Information saturated (h1) model Structured
Latent Variables:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
visual =~
x1 -0.251 0.200 -1.255 0.209 -0.251 -0.216
x2 0.084 0.094 0.891 0.373 0.084 0.071
x3 0.779 0.123 6.320 0.000 0.779 0.690
textual =~
x4 0.868 0.065 13.256 0.000 0.868 0.747
x5 1.058 0.066 15.930 0.000 1.058 0.821
x6 0.790 0.063 12.620 0.000 0.790 0.722
speed =~
x7 0.722 0.080 9.019 0.000 0.722 0.664
x8 0.706 0.075 9.469 0.000 0.706 0.698
x9 0.465 0.064 7.300 0.000 0.465 0.461
intelligence =~
x1 0.949 0.097 9.810 0.000 0.949 0.814
x2 0.472 0.073 6.433 0.000 0.472 0.402
x3 0.817 0.127 6.460 0.000 0.817 0.724
x4 0.460 0.094 4.891 0.000 0.460 0.396
x5 0.397 0.104 3.835 0.000 0.397 0.308
x6 0.449 0.088 5.092 0.000 0.449 0.411
x7 0.097 0.070 1.377 0.169 0.097 0.089
x8 0.264 0.066 3.985 0.000 0.264 0.261
x9 0.471 0.067 7.082 0.000 0.471 0.468
Covariances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
visual ~~
intelligence 0.000 0.000 0.000
textual ~~
intelligence 0.000 0.000 0.000
speed ~~
intelligence 0.000 0.000 0.000
visual ~~
textual -0.240 0.094 -2.566 0.010 -0.240 -0.240
speed -0.002 0.094 -0.021 0.983 -0.002 -0.002
textual ~~
speed 0.122 0.083 1.473 0.141 0.122 0.122
Variances:
Estimate Std.Err z-value P(>|z|) Std.lv Std.all
.x3 (a) -0.000 -0.000 -0.000
.x1 0.394 0.216 1.822 0.068 0.394 0.290
.x2 1.152 0.098 11.799 0.000 1.152 0.834
.x4 0.386 0.048 8.120 0.000 0.386 0.286
.x5 0.383 0.061 6.252 0.000 0.383 0.231
.x6 0.371 0.042 8.731 0.000 0.371 0.310
.x7 0.653 0.099 6.620 0.000 0.653 0.552
.x8 0.454 0.085 5.357 0.000 0.454 0.444
.x9 0.577 0.060 9.582 0.000 0.577 0.569
visual 1.000 1.000 1.000
textual 1.000 1.000 1.000
speed 1.000 1.000 1.000
intellignc 1.000 1.000 1.000
Constraints:
|Slack|
a - 0 0.000
パス図の描画
library(semPlot) semPaths(HS2.fit,layout="spring", whatLabels="stand",sizeMan=5, shapeLat="ellipse",sizeLat=8,sizeLat2=5, exoCov=F,residuals=F,nCharNodes=0, edge.label.cex=0.9,edge.color="black")
