階層線形モデル（HLM）におけるセンタリング (centering) は、モデルの解釈を容易にしたり、推定の安定性を向上させたりするために、予測変数 (説明変数) から特定の値を差し引く 操作である。
グループ平均センタリング (group-mean centering) と 全体平均センタリング (grand-mean centering) の2種類がある。
1. グループ平均センタリング (Group-Mean Centering)
- 各グループ (例：学校) の平均値を、そのグループ内の個々の観測値から差し引く 方法。
- レベル 1 変数 (例：生徒レベルの変数) に適用される。
- センタリング後の変数は、各グループの平均からの偏差 を表すようになる。
目的
- Within 効果と Between 効果を分離する: グループ平均センタリングを行うことで、レベル 1 変数の効果が、純粋な Within 効果 (グループ内効果) として推定されるようになる。つまり、グループ間の違いの影響を取り除いた、グループ内の個々の変動の効果を推定できるようになる。
- 解釈のしやすさ: センタリング後の変数は、グループ平均との相対的な位置を表すため、結果の解釈が容易になる。例えば、生徒の SES をグループ平均センタリングした場合、値が 0 であれば、その生徒の SES が学校の平均と同じであることを意味する。
- 多重共線性の軽減: 特に、クロスレベル交互作用をモデルに含める場合に、多重共線性を軽減し、推定の安定性を向上させることができる。
例:
生徒の SES (社会経済的地位) を学校ごとにグループ平均センタリングする場合、以下の手順で行う。
- 各学校の生徒の SES の平均値を計算する。
- 各生徒の SES の値から、その生徒が所属する学校の SES の平均値を差し引きする。
グループ平均センタリングの例:
SES: 生徒のSESから、その生徒が所属する学校の平均SES(つまりMEANSES) を差し引くことに相当する。- センタリングした変数を
cSESとする場合cSES = SES - MEANSESとなる。
2. 全体平均センタリング (Grand-Mean Centering)
- 全体の平均値を、個々の観測値から差し引く 方法。
- レベル 1 変数とレベル 2 変数 (例：学校レベルの変数) の両方に適用できる。
- センタリング後の変数は、全体の平均からの偏差 を表すようになる。
目的
- 切片の解釈のしやすさ: レベル 1 変数を全体平均センタリングすると、レベル 1 モデルの切片が、「すべての予測変数が全体平均である場合の、従属変数の期待値」を表すようになる。レベル 2 変数を全体平均センタリングすると、レベル 2 モデルの切片が、「すべての予測変数が全体平均である場合の、レベル 1 モデルの切片の期待値」を表すようになる。
- 推定の安定性向上: 特に、レベル 2 変数に適用することで、推定が安定し、収束が早くなることがある。
例:
- 生徒の SES を全体平均センタリングする場合: 全生徒の SES の平均値を計算し、各生徒の SES の値からその平均値を差し引く。
- 学校の平均 SES を全体平均センタリングする場合: 全学校の平均 SES の平均値 (つまり、
MEANSESの平均) を計算し、各学校の平均 SES の値からその平均値を差し引く。
3. センタリングしない:**
- 変数をセンタリングせずに、そのままモデルに使用することもできる。
- ただし、上記のセンタリングの目的で説明したようなメリットが得られません。
クロスレベル交互作用 (Cross-Level Interaction)
レベル 1 変数とレベル 2 変数の交互作用をクロスレベル交互作用と呼ぶ。例えば、生徒の SES (レベル 1) と学校の平均 SES (レベル 2) の交互作用は、生徒の SES の効果が学校の平均 SES によって異なるかどうかを表す。
クロスレベル交互作用をモデルに含める場合、以下の点に注意する必要がある。
- 多重共線性: レベル 1 変数とレベル 2 変数が相関している場合、交互作用項を含めると多重共線性が発生し、推定が不安定になる可能性がある。この問題を軽減するために、レベル 1 変数をグループ平均センタリングする ことが推奨される。
- 解釈: クロスレベル交互作用の解釈は複雑になることがある。交互作用項の係数は、レベル 2 変数の 1 単位の変化に対する、レベル 1 変数の効果の変化量を表す。
